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Carta Fundamental

Matemágica

Conjuntos infinitos

por Danilo Braun — publicado 30/07/2010 14h50, última modificação 30/07/2010 16h24
Conheça Cantor, o matemático que criou a teoria dos números cardinais

Conheça Cantor, o matemático que criou a teoria dos números cardinais

Nada é tão fascinante quanto a ideia de infinito. Pensar na possibilidade de um universo sem fim é ao mesmo tempo mágico e assustador. Mas essa ideia de um infinito  gigantesco, tão grande que não pode ser medido, não é a única forma com que nos deparamos com a questão. Quando o poeta diz “que não seja imortal, posto que é chama, mas que seja infinito enquanto dure” está se utilizando de outro infinito para falar do amor, o infinito contido em cada partícula.

Georg Cantor (1845-1918) foi o matemático que revolucionou a Teoria dos Conjuntos com seus estudos acerca de conjuntos infinitos. Mostrou, por exemplo, que nem todos os conjuntos infinitos são iguais, existindo “infinitos” de tamanhos diferentes. Foi ele também que distinguiu conjuntos infinitos que podem ou não ser enumeráveis. Como as operações tradicionais com objetos finitos não se aplicam em conjuntos infinitos, podendo gerar paradoxos, Cantor criou a teoria dos números cardinais. Utilizou números transfinitos para diferenciar a potência (tamanho) dos conjuntos infinitos e definiu operações válidas para esses números. Conta-se que com a descoberta do paradoxo de Russel, que apontava contradições na sua teoria, ele abandonou a Matemática e passou a se dedicar à religião.

O GRANDE HOTEL DE HILBERT
Imagine um hotel hipotético com infinitos quartos que está, no momento, com todos os seus aposentos ocupados. Quando um viajante chega procurando um leito, o empregado do hotel logo informa que todos os quartos estão ocupados. Como o viajante não se conforma com a notícia, o gerente é chamado. Ao saber do problema, o gerente encontra prontamente uma solução, dizendo ao seu empregado:

– Passe o hóspede que está no quarto 1 para o quarto 2, o do quarto 2 para o 3 e assim sucessivamente e teremos então o quarto 1 livre para nosso amigo viajante. Noutro dia chega ao hotel (ainda lotado) um ônibus com 100 passageiros. O empregado não teve dúvida: moveu cada hóspede para o quarto cem números acima, isto é, do quarto 1 para o 101, do 2 para o 102 etc., conseguindo assim vaga para todos.

Acontece, porém, que certo dia chega ao hotel um ônibus com infinitos passageiros. Sem saber o que fazer com um número infinito de novos hóspedes o empregado foi se consultar com o gerente, que lhe disse:

– Mude cada hóspede para o quarto cuja numeração é o dobro da sua. O hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o do quarto 2 para o 4, o do quarto 3 para o 6, e assim por diante. Desse modo poderemos alocar todos os infinitos novos hóspedes.

O empregado ficou maravilhado com a solução do gerente. Foi quando, por ocasião de um grande evento ocorrido na cidade, chegaram ao hotel uma frota de infinitos ônibus, cada qual com infinitos passageiros, todos à procura de quartos. Desesperado, o empregado buscou pelo gerente que, após um longo raciocínio, encontrou uma solução:

– Comece por esvaziar os quartos ímpares como já fizemos antes. Coloque agora os infinitos passageiros do primeiro ônibus nos quartos 3, 9, 27, 81 etc. Isto é, nos quartos com numeração 3n, com n = 1, 2, 3, ... Agora pegue os passageiros do segundo ônibus e coloque-os nos quartos 5, 25, 125, 625 etc. Ou seja, nos quartos com numeração 5n, com n = 1, 2, 3, ... Como os números 3 e 5 são primos, não existirá nenhum quarto em comum gerado por essas potências. Seguindo essa ideia, basta inserir os passageiros do ônibus k nos quartos gerados pela sequência pn com n = 1, 2, 3, ..., onde p é o k- ésimo número primo maior que 2.

O problema que relatamos acima de modo lúdico foi apresentado pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943) e é apenas uma aplicação de propriedades de conjuntos infinitos que, por ser contraintuitiva, é chamada de paradoxo. Essa mesma constatação já havia sido feita por Galileu Galilei (1564-1642) ao observar as sequências infinitas (1, 2, 3, 4, 5, ...) e (1, 4, 9, 16, 25, ...), na qual cada elemento da segunda sequência é o quadrado do respectivo elemento da primeira sequência. Não é difícil aceitar o fato de que as duas sequências de infinitos elementos possuam mesmo tamanho, dado que cada elemento tem o seu correspondente na outra sequência. Estranho é notar que todos os elementos da sequência 2 estão presentes na sequência 1, sugerindo o paradoxo de que a sequência 1 tenha, então, mais elementos. Esse fato nos mostra que a ideia de que a parte é menor que o todo não vale em conjuntos infinitos. Tanto nesse exemplo quanto no caso do hotel de Hilbert, o que verificamos é o fato de conjuntos infinitos possuírem subconjuntos próprios com mesma cardinalidade.

PARADOXO DE RUSSELL
Imagine que em uma aldeia exista um barbeiro que faz a barba de todos os homens dessa aldeia que não se barbeiam. Pergunta-se: o barbeiro se barbeia?

A resposta não pode ser “sim”, pois ele não deveria fazer sua barba, já que não barbeia os que fazem a própria barba. Também não pode ser “não”, uma vez que, se ele não se barbear, deve fazer a barba com o barbeiro (ele próprio).

Essa história, conhecida como paradoxo do barbeiro, é uma versão divertida do paradoxo descoberto por Bertrand Russell em 1901, que define o conjunto de todos os conjuntos que não contêm a si próprios como elementos. Formalmente seria o conjunto M={A A

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